ARITHMÉTIQUE-Types de raisonnement

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Exemples
1^ Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, le nombre n(n + 3) est divisible par 2.
1& Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que (x − 1)2y = 18 1* n désignant un entier relatif quelconque, montrer que 7 ne divise pas 6 + 14n.
1( Montrer que, si a2 + b2 est impair, alors a et b ne sont pas de même parité.
2) Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 7 divise 32n+1 + 2n+2.
2! Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n ≥ 1, le nombre 22n + 6n − 1 est divisible
par 9.

Exercices à préparer à la maison

2@ Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, le nombre n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6.
2# x et y désignent des entiers naturels avec x > y.
a. Démontrer que si x2y − xy2 = 6, alors xy et x − y divisent 6.
b. Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x2y − xy2 = 6.
2$ Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, le nombre 3n+3 – 44n+2 est divisible par 11.
2% 1. Établir, par récurrence que :
a. pour tout entier naturel n, n3 – n est un multiple de 3.
b. pour tout entier naturel n, n7 – n est un multiple de 7.
2. Est-ce que, pour tout entier naturel n, n4 – n est un multiple de 4 ?
2^ On se propose de démontrer que 2 est irrationnel.
Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que 2 p
q
= avec p
q
fraction irréductible.
a. Montrer que p2 = 2q2 ; en déduire que p est pair.
b. En déduire alors que q est pair, puis conclure.

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