ARITHMÉTIQUE - Divisibilité - Théorèmes généraux

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Exemples
B Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, n3 − 8 est multiple de n − 2.
C Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.
D Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 52 n − 7n est divisible par 18.

E Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 2n + 3 et 3n + 4, cet entier ne peut
qu’être égal à 1.
F n désigne un entier relatif. Démontrer que si un entier relatif a divise les entiers n2 + 3n + 13 et
n + 2, alors a divise 11.
G Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 1 divise n + 17, en remarquant que :
n + 17 = (n − 1) + 18

Exercices à préparer à la maison

H En utilisant la définition, démontrer que : si a divise b, alors a2 divise b2.
I VRAI OU FAUX ? Si a|b et c|b alors ac|b.
J Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 7n − 3n est divisible par 4.
1) Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4.
1! Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 5n + 9 et 2n + 3, il ne peut prendre que
deux valeurs que l’on précisera.
1@ Comment choisir l’entier naturel n pour que n divise n + 8 ?
1# Déterminer les entiers relatifs n tels que n – 4 divise n + 2.
1$ Quelles sont les valeurs que peut prendre un diviseur relatif commun à 5n – 3 et 2n – 3, où n
désigne un entier relatif ?
1% Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 2n2 +7n + 3 est divisible par 2n + 1.

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